EXPONENTES Y LOGARITMOS
Los exponentes también se llaman potencias o
índices
El exponente de un número nos dice cuántas
veces se usa el número en una multiplicación.
En este ejemplo: 82 = 8 × 8 = 64
|
Más ejemplos:
Ejemplo: 53 = 5 × 5 × 5 = 125
- En
palabras: 53 se puede leer "5 a la tercera potencia",
"5 a la potencia 3" o simplemente "5 al cubo"
Ejemplo: 24 = 2 × 2 × 2 × 2 = 16
- En
palabras: 24 se puede leer "2 a la cuarta potencia"
or "2 a la potencia 4" o simplemente "2 a la cuarta"
Y los exponentes hacen más fácil escribir muchas
multiplicaciones
Ejemplo: 96 es más fácil de
escribir y leer que 9 × 9 × 9 × 9 × 9 × 9
Puedes multiplicar cualquier número por sí
mismo tantas veces como quieras con esta notación.
Así que, en general:
an
te dice que multipliques a por sí mismo,
y hay n de esos a's: |
Exponentes negativos
¿Negativos? ¿Qué es lo contrario de multiplicar?
¡Dividir! Un exponente negativo significa cuántas veces se divide entre
el número.
Ejemplo: 8-1 = 1 ÷ 8 = 0.125
O varias divisiones:
Ejemplo: 5-3 = 1 ÷ 5 ÷ 5 ÷ 5 = 0.008
Pero esto lo podemos hacer más fácilmente:
5-3 también se podría calcular así:
1 ÷ (5 × 5 × 5) = 1/53 = 1/125 = 0.008
Este último ejemplo nos muestra una manera más
fácil de manejar exponentes negativos:
|
Más ejemplos:
Exponente negativo
|
Recíproco del exponente positivo
|
Respuesta
|
||
4-2
|
=
|
1 / 42
|
=
|
1/16 = 0.0625
|
10-3
|
=
|
1 / 103
|
=
|
1/1,000 = 0.001
|
¿Qué pasa si el exponente es 1 o
0?
Si el exponente es 1, entonces tienes el número
solo (por ejemplo 91 = 9)
Si el exponente es 0, la respuesta es 1 (por
ejemplo 90 = 1)
Tiene sentido
Mi método favorito es empezar con "1" y
multiplicar y o dividir tantas veces como diga el exponente, y tendrás la
respuesta correcta, por ejemplo:
Ejemplo: potencias de 5
|
|||
...
etc...
|
|||
52
|
1 × 5 × 5
|
25
|
|
51
|
1 × 5
|
5
|
|
50
|
1
|
1
|
|
5-1
|
1 ÷ 5
|
0.2
|
|
5-2
|
1 ÷ 5 ÷ 5
|
0.04
|
|
Si miras esta tabla, verás que los exponentes
positivos, cero y negativos son en realidad parte de un mismo (y bastante
sencillo) patrón.
Logaritmo
|
El logaritmo de un número, en una base dada, es el exponente al cual se
debe elevar la base para obtener el número.
Se lee “logaritmo de x en base a es igual a y”, pero debe cumplir con la
condición general de que a (la base) sea mayor que cero y a la vez distinta de
uno:
Para aclarar el concepto, podríamos decir que logaritmo es solo otra
forma de expresar la potenciación, como en este ejemplo:
Que leeremos: logaritmo de 9 en base 3 es igual a 2
Esto significa que una potencia se puede expresar como logaritmo y un
logaritmo se puede expresar como potencia.
El gráfico siguiente nos muestra el nombre que recibe cada uno de los
elementos de una potencia al expresarla como logaritmo:
Entonces, podemos preguntar: ¿Que es el logaritmo?
El logaritmo es "el exponente" por el cual se ha elevado
una base para obtener la potencia.
Ejemplos:
1)
El resultado (2) es el exponente por el cual debemos elevar la base (2) para obtener la potencia (4): 22 = 4
2)
El resultado (0) es el exponente por el cual debemos elevar la base (2) para obtener la potencia (1): 20 = 1
3)
El resultado
(y) es el exponente por el cual debemos elevar la base (1/2) para obtener la
potencia (0,25):
, pero en
este caso debemos despejar el exponente y:
4)
5)
Cuidado con
esto, hay que recordarlo: Cuando la base no aparece expresada se supone que
ésta es 10:
6)
Aquí, otra nota importante, para no olvidar: Los logaritmos que tienen
base e se llaman logaritmos neperianos o naturales. Para
representarlos se escribe ln o bien L. La base e está
implícita, no se escribe:
7)
Con lo ya expuesto, podemos empezar a establecer las:
Propiedades de los logaritmos
No existe el logaritmo de un número con base negativa.
No existe el logaritmo de un número negativo.
No existe el logaritmo de cero.
El logaritmo de 1 es cero.
El logaritmo de a en base a es uno.
El logaritmo en base a de una potencia en base a es igual al exponente.
El logaritmo de un producto es igual a la suma de los logaritmos de los
factores:
El logaritmo de un cociente es igual al logaritmo del dividendo menos el logaritmo del divisor:
El logaritmo de una potencia es igual al producto del exponente por el logaritmo de la base:
El logaritmo de una raíz es igual al cociente entre el logaritmo del radicando y el índice de la raíz:
Cambio de base:
Logaritmos decimales:
Son los que tienen base 10. Se representan por log (x) (ya
vimos que la base 10 no se escribe, queda implícita).
Logaritmos neperianos o naturales:
Son los que tienen base e. Se representan por ln (x) o L(x)
(ya vimos que la base e tampoco se escribe, se subentiende cuando aparece ln).
Algunos ejemplos de logaritmos neperianos son:
ln 1 = 0; puesto que e0 = 1
ln e2 = 2; puesto que e2
= e2
ln e−1 = −1; puesto que e−1
= e−1
El número e tiene gran importancia en las Matemáticas. No es
racional (no es cociente de dos números enteros) y su valor, con seis cifras
decimales, es
e = 2,718281...
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